Locally Free Sheaf
释义 Definition
局部自由层：在带结构层的空间（如概形、复流形等）上，一个由结构层模组成的层 \(\mathcal{F}\)，如果对每个点都存在一个邻域 \(U\)，使得
\[
\mathcal{F}|_U \cong \mathcal{O}_U^{\oplus r}
\]
（某个有限秩 \(r\) 的自由模的直和），则称 \(\mathcal{F}\) 为局部自由层。直观上，它与向量丛（vector bundle）在许多情形下可互相对应；当 \(r=1\) 时常称为线丛（line bundle）对应的层。
发音 Pronunciation (IPA)
/ˈloʊkəli friː ʃiːf/
词源 Etymology
- locally 来自 local（“局部的”），强调“在每个点附近”成立，而不要求全局一致。
- free 在代数学中指“自由模”（有一组基、没有关系约束），对应最“像坐标空间”的结构。
- sheaf（层）源于“捆、束”的意象：把每个开集上的数据（如函数、截面、模）系统地“束”在一起，并满足局部拼接与一致性条件。
合起来，“locally free sheaf”就是“在局部看起来像自由模的层”。
例句 Examples
A locally free sheaf of rank 1 corresponds to a line bundle.
秩为 1 的局部自由层对应一个线丛。
On a smooth projective variety, locally free sheaves play a central role in studying vector bundles, Chern classes, and cohomology.
在光滑射影簇上，局部自由层在研究向量丛、陈类与上同调时起核心作用。
相关词 Related Words
文学与名著用例 Literary Works
- Algebraic Geometry — Robin Hartshorne（经典教材中大量使用“locally free sheaf”讨论向量丛与除子）
- Éléments de géométrie algébrique (EGA) — Grothendieck & Dieudonné（体系化建立概形语言，局部自由层是基础对象之一）
- The Red Book of Varieties and Schemes — David Mumford（以较直观方式介绍概形与相关层论概念）
- The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry — Ravi Vakil（讲义/教材中频繁出现，用于连接向量丛与上同调）
- Complex Geometry: An Introduction — Daniel Huybrechts（在复几何语境下讨论与向量丛/解析层相关的局部自由层思想）
Select Language